Critère de colinéarité de deux vecteurs

Propriété

Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. Soit \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}\) deux vecteurs.

Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\boxed{\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0}\).

Remarque

Ceci signifie que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont deux à deux proportionnelles.

Démonstration

Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. Soit \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}\) deux vecteurs.

• Supposons que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.
  Premier cas : les deux vecteurs sont non nuls.
  Alors il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\) et on a donc \(\begin{cases}\color{blue}{x^{\prime}} = k \times \color{green}{x} \\\color{orange}{y^{\prime}} = k \times \color{red}{y} \\\end{cases}\).
  Ainsi, \(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = \color{green}{x} \times k\color{red}{y} - k\color{green}{x} \times \color{red}{y} = 0\).
  Deuxième cas : un des vecteurs est le vecteur nul, par exemple le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est le vecteur nul.
  Alors  \(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0 \times \color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}} \times 0 = 0\).
  
• Supposons que \(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0\). Si l'un des deux vecteurs est nul, par exemple le vecteur \(\overrightarrow{u}\), alors il est colinéaire à tout vecteur du plan, donc il est colinéaire au vecteur\(\overrightarrow{v}\).
  
• Supposons maintenant qu'aucun des deux vecteur est le vecteur nul. On a en particulier \(\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}\) donc  \(\color{green}{x} \neq 0\) ou \(\color{red}{y} \neq 0\) . Supposons par exemple que \(\color{green}{x} \neq 0\) (sinon, on effectue le même raisonnement avec \(\color{red}{y} \neq 0\)).
  On pose \(k = \dfrac{\color{blue}{x^{\prime}}}{\color{green}{x}}\) soit \(\color{blue}{x^{\prime}} = k \times \color{green}{x}\).
  Puisque \(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0\) on a \(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} = \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y}\) et donc \(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} = k \color{green}{x}\color{red}{y}\) soit \(\color{orange}{y^{\prime}} =k \times \color{red}{y}\) car \(\color{green}{x} \neq 0\).
  Ainsi, on a \(\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\) et les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.